ALGEBRA DE MATRICES

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de números reales (elementos) colocados en filas m y en columnas n el lugar que ocupa cada elemento de la matriz queda determinado por (i, j) siendo i la fila y j la columna
Dimensión de una matriz Þ número de filas x numero de columnas. Dimensión mxn

ejemplo:
Dimensión 3x3, m=3 filas y n=3 columnas

el elemento de valor o esta en la fila 2(i) y columna 3(j) será a23.

El elemento de valor 3 esta en la fila 3(i) y en la columna (j) Será a31

TIPOS DE MATRICES:

• Rectangulares: m es diferente a n, dimensión m x n

• Cuadradas: m es igual a n, dimensión n x n, se llaman de orden n.
  matriz rectangular

matriz fila : tiene una sola fila, dimensión 1 x n. B = (2 5 -3 0) dimensión 1x4

matriz columna: tiene una sola columna, dimensión m x 1

OPERACIONES CON MATRICES

Trasposición

La matriz traspuesta, A^T, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
Sea A una matiz m×n y B = A^T, entonces B es la

matriz n×m con b_ij = a_ji.

ejemplo

Suma y Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones,

suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos,
(A+B)_ij = A_ij + B_ij.

resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)_ij = A_ij - B_ij.

Producto escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto),

Definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)_ij = c(A_ij).

Producto

Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p.
La entrada (AB)_ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

LA MATRIZ UNIDAD DE ORDEN NXN

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1.

En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

La siguiente es la matriz unidad de orden 4

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A^-1, con la propiedad

AA^-1 = A^-1A = I.

Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.

En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación

AX = B

multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquie rda por A^-1, que nos da

X = A^-1 B.

ejemplo:

El sistema de ecuaciones

tiene la solucion





















Inversa de una matriz 2×2

La matriz 2×2

es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determina nte de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula

ejemplo:

Las operaciones de adición

multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

APLICACION ECONOMICA

modelos económicos de insumo-producto

Una matriz insumo-producto para una economía da, en su j^a columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna).

La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ij^a entrada , el ij^o coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces

(I - A)X = D,

o

X = (I - A)^-1D.

Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)^-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos

estos son algunas paginas que pueden consultar para obtener mas informacion sobre matrices.

www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

www.eumed.net/libros/2006c/211/4d.htm

MODELO DE GASTOS AGREGADOS

GASTOS AGREGADOS

En la economía, agregado significa total o combinado lo cual indica que cuando hablamos de gastos agregados estamos hablando de gastos combinados o gastos totales. La teoría da gastos agregados se dio lugar en la gran depresión con el alternativo modelo macroeconómico de keynes. La teoría de gastos agregados dice que los gastos agregados determina el volumen de producción el cual establece a su vez el nivel de empleo.

Explicado de mejor manera un alto nivel de gastos significa que para las empresas existe un estimulo importante para elevar su nivel de producción, lo que garantiza mayor empleo de los factores productivos incluyendo la mano de obra.
Por el contrario un bajo nivel de gastos agregados es un desestimulo a la producción eleva los inventarios de bienes en las empresas y en el largo tiempo conduce al desempleo el cual incide nuevamente en el largo tiempo.

El desequilibrio del gasto agregado puede conducir por un lado a la inflación (superior) y por el otro al desempleo (inferior).

Las herramientas básicas para analizar el modelo de gastos agregados cuando permanecen constantes los niveles de precios son los diagramas de CONSUMO, AHORRO e INVERSION que muestran lo que las familias piensan consumir y ahorrar y lo que las empresas planean invertir a diversos niveles de ingreso y producción.

CONSUMO Y AHORRO

El CONSUMO es el principal componente de los gastos agregados en términos absolutos.

EL AHORRO ES IGUAL AL INGRESO DISPONIBLE MENOS EL CONSUMO, de modo que cuando examinamos los determinantes del consumo también estudiamos los determinantes del ahorro.

* El ingreso disponible menos el consumo es igual al ahorro ID - C = A

*El ahorro varía directamente con el nivel de ingreso disponible

Diagrama de consumo: Muestra la relación directa entre consumo e ingreso disponible.

Diagrama de ahorro: ahorro es igual al ingreso disponible menos el consumo ( A = ID - C )

NIVEL DE PRODUCCIÓN Y DE INGRESO
Ingresos Disponibles (PIB = ID)

PROPENSIONES MEDIA Y MARGINAL

PROPENSACION MEDIA A CONSUMIR
PMC = consumo/ID


PROPEBSACION MEDIA A AHORRAR
PMA = ahorro/ ID



PROPENSACION MARGINAL A CONSUMIR ( pendiente de la curva de consumo)

PMgC = cambio en el consumo/ cambio en el ingreso

PROPENSACION MARGINAL A AHORRAR ( pendiente de la curva de ahorro
PMgA = cambio en el ahorro/ cambio en el ingreso

DESPLAZAMIENTOS Y ESTABILIDAD

1. TERMINOLOGIA

• Cambio en la cantidad consumida por una variación del consumo en el ingreso disponible

ejemplo: de a a b sobre la curva de consumo.

• Cambio en el diagrama de consumo
  
  Es un desplazamiento de todo el diagrama hacia arriba o hacia abajo por una variación del ingreso ( determinantes: riqueza, expectativas, endeudamiento).
  
  riqueza: cuando las familias tienen una mayor riqueza(casas, automoviles, dinero......) ven menor la necesidad de ahorrar esto provoca una reducción en la curva de ahorro y una aumento en la curva de consumo

expectativas:las expectativas sobre los bienes disponibles, el ingreso y los precios en el futuro provocan desplazamientos en la curva de costo y de ahorro .

endeudamiento: cuando las deudas son muy elevadas las familias ven reducido su consumo

2. DESPLAZAMIENTO DEL DIAGRAMA

Cuando el diagrama de consumo se desplaza hacia arriba de Co a C1, el diagrama de ahorro se desplaza hacia abajo de A0 a A1, en direcciones opuestas.

ejemplo: si las familias deciden consumir mas a cada nivel de ingreso disponible, debe ahorrar menos, y viceversa.

LA EXCEPCION

La tributacion:

las familias consumen menos y ahorran menos cuando deben pagar mayores impuestos

+ impuestos = desplazamientos - ahorro y consumo

y una reduccion de impuestos desplaza hacia arriba el ahorro y consumo.

3. ESTABILIDAD

La modificacion de los determinantes distintos del ingreso pueden desplazar los diagramas de consumo y ahorro, en la practica son bastantes estables.

Tan solo los incrementos o las reducciones de los impuestos tienen un fuerte efecto sobre la localizacion de los diagramas, su estabilidad puede obedecer a que las decisiones de consumo y ahorro dependen en gran medida de consideraciones de largo plazo.

INVERSIÓN

la inversión representa los gastos en nuevas plantas, equipo de capital , maquinaria etc. con el objetivo de obtener mayores beneficios ya sean a largo o corto plazo por esta razón la inversión no va incluida en los gastos, pues los gastos a diferencia de la inversión no tiene un reembolso monetario ya sea a corto o largo plazo.

en conclucion la inversion es un gasto que se realiza con el objetivo un rembolso monetario ya sea a corto o largo plazo, y cuando hablamos de un reembolso monetario nos treferimos a una tasa de retorno.

• ¿que es una tasa de retorno?

como ya sabemos la inversión esta guiada y motivada por el animo de lucro, una empresa solo invierte cuando sus ganancias son mayores que la inversión , y al hablar de ganancias estamos hablando de una tasa de retorno. en teoría y sin tantas arandelas una tasa de retorno es el porcentaje de ingreso que da la nueva inversión después de recuperar lo invertido y lo gastado en servicio , impuestos, mano de obra. etc.... , en otra palabras es el porcentaje de ganancias que proporciona la inversión, por ejemplo en un taller de artesianas compran una cortadora de piezas que vale 10 millones de pesos la cual tiene una vida útil de 5 años de la cual se espera que aumente la producción y rebusca los costos, suponga que el ingreso esperado (descontando servicios, impuestos, mano de obra......) es de 15 millones de pesos, lo cual significa que la tasa de retorno es (5.000.000/10.000.000=) de un 50%.pero cuando hablamos de una tasa de retorno también debemos hablar de una tasa de interés pues no queda demás aclarar que la tasa de interés tiene que ver mucho con la inversión de las empresas .

• ¿que es una tasa de interés?

La tasa de interés es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".en otras palabras mas entendibles la tasa de interés es el porcentaje que cobran las entidades bancarias cuando prestan dinero para financiacion .

casi todas las empresas buscan un medio de finaciacion para las inversiones planeadas por esta razón las empresas tienen que tener en cuenta que la tasa de retorno sea superior a la de interés si no solo se estarían endeudando de manera estúpida. para explicarlo mejor si tu vas a invertir en una maquina que tiene una tasa de retorno de 15% y la tasa de interés con la que vas a financiar la inversión es de un 8% es un buen negocio.

• ¿y que pasa cuando no hay que financiar la inversión?

algunas empresas no piden prestamos para realizar sus inversiones si no utilizan dinero ahorrado anteriormente aun siendo así hay que tener en cuenta la tasa de interés pues tenemos que ver el costo de oportunidad entre invertir el dinero o prestarlo. por ejemplo si tenemos un cierto dinero ahorrado el cual vamos a invertir a una maquina que tiene una tasa esperada de retorno del 10% y la tasa de interés actual es de 12% es mas rentable prestar el dinero que invertirlo.