ALGEBRA DE MATRICES

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de números reales (elementos) colocados en filas m y en columnas n el lugar que ocupa cada elemento de la matriz queda determinado por (i, j) siendo i la fila y j la columna
Dimensión de una matriz Þ número de filas x numero de columnas. Dimensión mxn

ejemplo:
Dimensión 3x3, m=3 filas y n=3 columnas

el elemento de valor o esta en la fila 2(i) y columna 3(j) será a23.

El elemento de valor 3 esta en la fila 3(i) y en la columna (j) Será a31

TIPOS DE MATRICES:

• Rectangulares: m es diferente a n, dimensión m x n

• Cuadradas: m es igual a n, dimensión n x n, se llaman de orden n.
  matriz rectangular

matriz fila : tiene una sola fila, dimensión 1 x n. B = (2 5 -3 0) dimensión 1x4

matriz columna: tiene una sola columna, dimensión m x 1

OPERACIONES CON MATRICES

Trasposición

La matriz traspuesta, A^T, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
Sea A una matiz m×n y B = A^T, entonces B es la

matriz n×m con b_ij = a_ji.

ejemplo

Suma y Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones,

suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos,
(A+B)_ij = A_ij + B_ij.

resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)_ij = A_ij - B_ij.

Producto escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto),

Definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)_ij = c(A_ij).

Producto

Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p.
La entrada (AB)_ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

LA MATRIZ UNIDAD DE ORDEN NXN

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1.

En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

La siguiente es la matriz unidad de orden 4

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A^-1, con la propiedad

AA^-1 = A^-1A = I.

Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.

En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación

AX = B

multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquie rda por A^-1, que nos da

X = A^-1 B.

ejemplo:

El sistema de ecuaciones

tiene la solucion





















Inversa de una matriz 2×2

La matriz 2×2

es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determina nte de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula

ejemplo:

Las operaciones de adición

multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

APLICACION ECONOMICA

modelos económicos de insumo-producto

Una matriz insumo-producto para una economía da, en su j^a columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna).

La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ij^a entrada , el ij^o coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces

(I - A)X = D,

o

X = (I - A)^-1D.

Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)^-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos

estos son algunas paginas que pueden consultar para obtener mas informacion sobre matrices.

www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

www.eumed.net/libros/2006c/211/4d.htm